多项式承诺,正在重塑整个区块链

此文这里只介绍较好理解的 KZG 多项式承诺,KZG 多项式承诺(KZG Polynomial Commitment)也被称为卡特多项式承诺方案,是 Kate,Zaverucha 和 Goldberg 一起发表的。在一个多项式方案中,证明者计算一个多项式的承诺,并可以在多项式的任意一点进行打开,该承诺方案能证明多项式在特定位置的值与指定的值一致。

不同多项式承诺方案列表

多项式承诺,正在重塑整个区块链

上表中,FRI 是 Starkware 采用的多项式承诺方案,可以实现量子级别的安全,但证明的数据量却是最大;IPA 是 Bulletproof 和 Halo2 零知识算法默认的多项式承诺方案,验证时间相对较长,采用的项目有门罗币,zcash 等,前两者是不需要初始可信设置的。

由上图可以看出在证明大小与验证时间上,KZG 多项式承诺的优势比较大,KZG 承诺也是目前应用最广的一种多项式承诺方式。但 KZG 是基于椭圆曲线,配对函数,需要初始可信设置的。

ETH 升级路线与多项式承诺的关联

在 ETH 相关生态及其未来升级路线中,都可以看到多项式承诺的踪影。

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The Merge:

现时的以太坊主链和 Beacon Chain 将会合并,原本的 PoW (工作量证明) 共识将会转变成 PoS (权益证明)。

The Surge:

添加 DAS(数据可抽样性功能),极大的提高 ETH 的扩展性,通过 Danksharding 增强 rollup 性能。

The Verge:

引入 Verkle 树 (Verkle Trees) 的设计来优化以太坊上的数据存储。

The Purge:

通过剔除历史数据和消除技术债务,验证者不再需要使用大量硬盘空间去进行验证工作。

The Splurge:

四个不同部分升级后的协调,旨在减少错误 (Bugs) 的出现和确保网络能畅顺运作,还有就是 EVM 改进和添加账号抽象模型等。

其中 The Surge 升级将借鉴多项式承诺技术实现数据可抽样性功能,The Verge 升级将利用多项式承诺来优化其数据结构,ETH L2 的 zkrollup 也都采用了多项式承诺来实现其零知识证明带来的性能拓展。

什么是 KZG 多项式承诺

此文这里只介绍较好理解的 KZG 多项式承诺,KZG 多项式承诺(KZG Polynomial Commitment)也被称为卡特多项式承诺方案,是 Kate,Zaverucha 和 Goldberg 一起发表的。在一个多项式方案中,证明者计算一个多项式的承诺,并可以在多项式的任意一点进行打开,该承诺方案能证明多项式在特定位置的值与指定的值一致。

之所以被称为承诺,是因为当一个承诺值(椭圆曲线上的一个点)发送给某对象 (验证者) 时,证明者不可以改变当前计算的多项式。他们只能够对一个多项式提供有效的证明;当试图作弊时,它们要不无法提供证明,要不证明被验证者拒绝。

KZG 数学原理

详细可参考 Qi Zhou 博士在 Dapp Learning 讲解的关于 KZG 视频。

在理解 KZG 之前,可以先了解一下多项式、群、环、域、椭圆曲线、生成元、配对公式、朗格朗日插值等数学定义。

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具有可信设置的多项式承诺

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单个证明

卡特证明单个数据的公式推衍如下,由于椭圆曲线群只支持加法同态,无法支持多项式之间的乘法,这是就需要通过配对函数解决,

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由于椭圆曲线群并不支持运算多项式之间的乘法运算,所以此时得采用配对函数去解决

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批量证明

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具体应用场景

多项式承诺应用方向总结起来可以分为 3 大类

数据可用性(ETH Surge 升级,ETH danksharding,降低 L2 成本,模块化数据可用性项目 Avails)

数据结构优化(MPT 树改为 Verkle 树,ETH Verge 升级,无状态客户端,实现 ETH 的轻量的验证节点)

零知识证明系统(Zksync,Zkswap,Scroll,PSE 给 Zk 提供多项式承诺方案,大大提升链的拓展能力)

1.数据可用性

DAS(数据可用性抽样)

核心目的:数据缺失则无法通过大多数节点抽查

尽力做到:占用带宽小,抽样过程所需计算量小

纠删码(celestia)

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纠删码会增加额外数据块,这种情况很容易通过抽样调查发现,从而提升安全性。

以上图为例,有 4 个数据,一次只能抽样一个,假设一个数据有问题,每个用户抽样发现错误的概率是 1/4,但是加入两数据块后,还是一个数据有问题,用户抽样发现的概率可以高达 1/2(3/6)。这样就能大幅提升安全性。

KZG 也可实现纠删码,利用拉格朗日公式:

比如把 (0,3),(1,6) 带入公式可得,y=3x+3

y1,y2 可以理解为要保存的数据,

对应点(2,8)(3,12) 等等,其中 y 值可以作为纠删码数据,其中任意两个点都可以推出原多项式公式系数。

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不同数据可用性项目组成

Celestia = Tendermint (cosmos) + 2d 纠删码 + 欺诈证明 + Namespace merkle tree + IPFS 基础设施(数据存储用的 IPFS Blockstore,传输网络用的 IPFS 的 Libp2p 与 bitswap,数据模型用的 IPFS 的 Ipld)

Polygon Avail = Substrate(Polkadot) + 2d 纠删码 + KZG 多项式承诺 + IPFS 基础设施

ETHprotoDankSharding = Blobs 数据(数据可用性的存储,替换现有的 calldata)+ 2d 纠删码 + KZG 多项式承诺(未定,方案目前仍在讨论)+ ETH 基础设施

EIP-4844 升级将在 The Merge 之后的下一个以太坊分叉升级中引入 “proto-danksharding” 并添加 blob 交易类型(EIP-4844),这有望将第 2 层 Rollup 的可扩展性提高,同时为实现完全分片(sharding)铺平道路。

Blob Transaction

1.增加一种新的交易类型,这种交易包含额外的存储空间 —— Blobs

2.Blob 开始只有 128 KiB 的存储空间(1)一个交易最多包含 2 个 Blob,即 256 KiB(2)一个 Block 最多包含 16 个,即 2 MiB;Target 是 8 个,即 1 MiB(可扩大)

3.Blob 以 KZG Commitment Hash 作为 Hash,用于数据验证,作用和 Merkle 类似

4.节点同步链上的 Blob Transaction 后,Blob 部分会在一段时间后过期删除

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L2 需要通过更新目前在 L1 的合约,以支持 DankSharding。

Celestia 通过欺诈证明实现。当见证人发现数据没有被正确采用删码技术,那么这个人就会将欺诈证明提交从而来提醒其他节点。但是这里需要最少诚实假设(至少连接到一个诚实节点)和同步假设(当有人给我发送欺诈证明的时候,需要确保我能在一定时间内收到通知)。

protoDanksharding 后的以太坊和 Polygon Avail 则采用了 KZG 多项式承诺(KZG commitments) 的方法。

KZG 多项式承诺方案,理论上要优于欺诈证明方案,带宽需求更小,抽样所需计算量也更小,也免去了欺诈证明中的包括少数诚实假设和同步假设等的安全假设。 未来 ETH 也有意引入抗后量子密码学 (参考 stark,采用哈希,不在使用椭圆曲线作为基础),避免量子计算机攻击。

2.数据结构优化 Verkle Tree

Verkle Tree 的概念在 2018 年推出,作为 ETH 升级的一个重要部分,其相比于 Merkle Tree,在 Proof 的大小上,有着很大的提升;对于规模在十亿级别的数据,Merkle Tree 的 proof 大约需要 1kB,而对于 Verkle Tree, 它将小于 150Bytes。

与 Merkle Tree 一样 Verkle Tree 也能实现 Proof of Inclusion(PoI),而且只需 KZG root 和 Data 就能验证,不需要额外的 Proof,更省带宽。

需求:Stateless Client

(1)节点不存完整的 State Tree,只获取需要的 State 来验证 Block

(2)Portal Network

(3)对 State Tree 的 PoI 有更高的性能要求

回顾 Data Availability 里的 KZG commitment

每个 leaf 都是 polynomial 上的点

constant size proof,和 leaf 数量无关

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Verkle Tree

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在不同树结构中构建证明,更新证明,以及证明所需的复杂度:

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Verkle 方案不需要以太坊客户端下载完整的状态数据,使得 ETH 验证者轻节点成为可能 (甚至可支持手机运行),多项式承诺(Verkle 树的多项式承诺方案,早期考虑的 KZG,近期还是考虑用 IPA)需要的证明空间复杂度大幅降低,带宽量需求量也大幅减少。

3.零知识证明系统

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早期 zk 技术(Groth16)属于线性 PCP 类。 除要求可信设置外,主要缺点是如果需要为不同的计算(不同的电路/多项式)提供证明,都需要一次新的设置。近期 zk 技术 PIOP 类支持通用初始设置和透明设置(不需要信任假设)。

新的 zk 证明系统通常可以描述为 PIOP(Polynomial Interactive Oracle Proof,多项式交互预言证明)+ PCS(Polynomial Commitment Scheme,多项式承诺方案)。前者可被视为是证明者用来说服验证者的约定程序,而后者使用数学方法确保该程序不会遭到破坏。项目方可以按需修改 PIOP,且可以在不同 PCS 中进行选择。

多项式承诺,正在重塑整个区块链

由 Amber 文章里的图可以看到 zk 系公链项目采用 KZG 方案的最多,有 Ploygon Hermez,Scoll,Zksync2.0,Aztec,Aleo,Manta,以太坊基金会支持的 PSE(隐私与扩展探索团队)也采用的 KZG 方案。而 Starknet,Risc0,Polygon Miden 采用的是 FRI 方案,Ploygon Zkvm(Hermez) 则是 FRI 与 KZG 的结合。

值得一提是,一些新的零知识证明系统支持多项式承诺方案的切换,KZG 未来也可以切换成其他多项式承诺方案。

总的来说,多项式承诺正在重塑整个区块链的架构,不论是在链的数据结构优化上,模块化区块链的数据可用性上,还是零知识证明系统上都将大有作为。其他地方是否还存在应用场景也是非常值得探索与跟进的。

(声明:请读者严格遵守所在地法律法规,本文不代表任何投资建议)

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