从Uniswap v3到crvUSD LLAMMA

前言

Curve 稳定币最难的部分是 LLAMMA（AMM for continuous liquidation/deliquidation）。LLAMMA 参考了 Uniswap v3 中的一些原则。但是，白皮书中的价格与 Uniswap v3 白皮书中的算法不同。我们将统一这两个项目，并尝试了解 Curve CEO 是如何设计这个演算法。

用 Uniswap v3 作为参考

本文中价格的定义与 Uniswap v3 互为倒数。因此，我们修改了 Uniswap v3 白皮书中的公式，让它与本文保持一致。简而言之，LLAMMA 试图让 Uniswap v3 中的一切都变得动态，以便为 crvUSD 债务人和清算人提供更适当的价格。

恒定乘积公式 (Constant Product Fomula) 比较

Uniswap v3 白皮书中的公式 (2.2)：

从Uniswap v3到crvUSD LLAMMA — 图一：Uniswap v3 虚拟流动模拟

Curve 稳定币白皮书中的公式 (1)：

在这裡 Pcd 代表 Pcurrent_down, Pcu 代表 Pcurrent_up

而对应关係为：

对应的恒定乘积公式为：

而在这之间：

流动性计算公式对应

Uniswap v3 白皮书中的公式 (6.7) ：

由于它们的价格定义之间存在倒数关係，对应的公式为：

此公式的一个具体应用是：

平方展开可以得到：

从上面的公式我们很容易的可以了解，当 y0 保持不变，Pcd 和 Pcu 数值越接近，相对应的流动性 I 则越大。

换句话说：

流动性不可能是无限的,在 Uniswap V3 中对应最小的 tick 会限制 L 的大小。

由此可以推断在 LLAMMA 中，我们还需要定义一个指标来衡量价格之间的最小差异，来继续 Uniswap v3 和 Curve 的类推。

对应最小差价

从 A 的定义中可以看出 , 当 p↓ 和 p↑ 越接近时， A 则越大，流动性集中度越高：

Uniswap v3 中，只有能被 tickSpacing 整除的 tick 才能被预设。因此，tickSpacing 决定了 LP 分配流动性的最低价格范围。tickSpacing 越小，价格范围越窄、越精确。在 Uniswap v3 中，不同的费用等级决定了不同的 tickSpacing。

然而，crvUSD LLAMMA 不需要那麽多 tickSpacing。由于 LLAMMA 仅有 ETH-crvUSD, 因此只需要让每一个 tickSpacing = 100basepoint。

来自 Uniswap v3 的公式 (6.1)：

在 LLAMMA 中，A=100，来自 Curve 稳定币白皮书的公式 (11)：

设置 n = -i, A=100, 我们会得到：

设计 Pcd 和 Pcu

我们希望 LLAMMA 具有以下属性：当 ETH 价格上涨时，矿池购买 ETH。当 ETH 下跌时，矿池出售 ETH。在这样的机制下，我们把 Pcd 和 Pcu 定义为 Po 的函数并且比线性函数更陡峭，因此它们的增长率会比 Po 更快。同时从图中可以看出两条曲线 Pcu 和 Pcd 分别通过两点 ( P↓ , P↓ ) 和 ( P↑ , P↑ ) 。满足以上要求的 Pcd 和 Pcu 其实有很多曲线。通用公式为：

当 m < n

让我们从最简单的例子开始：

把 Pcu 和 Pcd 带入 I 的平方展开：

然后 f²可以计算为：

不难发现 f²在这种假设下很难理解和计算。如果 Pcu 和 Pcd 是 Po 的三次函数:

把 Pcu 和 Pcd 带入 I 的平方展开：

重新计算 f²：

可以看出，当 Pcu 和 Pcd 是 Po 的三次函数，整个数学形式就简单多了。去掉了平方根项，计算方便多了。如果接受更高的订单，则 AMM 的价格和 Po 将相差很大，因此购买 ETH 的成本（当价格上涨时）会更高，而导致更大的清算损失。总之，把 Pcu 和 Pcd 定义为 Po 的三次函数是一个更好的选择。

其他参数的推导

Pcu 和 Pcd 是关于 Po 的三次函数, 取特别数值 Po = P↑, 不难得到 Y = Y0 和 X = 0，于是：